La fonction de transfert en boucle ouverte, également connue sous l’acronyme FTBO, tout comme le FTBF est un concept largement utilisé dans le domaine des systèmes de contrôle automatique. Elle permet d’étudier et d’évaluer le comportement d’un système face à une entrée donnée en tenant compte du principe de superposition. Cette méthode s’avère indispensable lors de l’analyse et de la conception des systèmes asservis pour garantir leur stabilité et leurs performances.
Principe de base de la FTBO
Le principe fondamental de la fonction de transfert en boucle ouverte réside dans la détermination de la relation entre la sortie et l’entrée d’un système. Pour ce faire, on représente cette relation par une équation mathématique appelée fonction de transfert. En général, cette fonction renvoie un rapport qui relie le signal de sortie au signal d’entrée dans le domaine fréquentiel, en utilisant la transformation de Laplace.
Représentation schématique
Un système asservi peut être représenté schématiquement par une chaîne de blocs. Chaque bloc représente un élément constitutif du système. La FTBO résulte ainsi du produit des fonctions de transfert de ces différents blocs. Cette multiplication se fait généralement dans le sens aller de la chaîne, c’est-à-dire depuis le signal d’entrée jusqu’à la sortie. Le signal de sortie étudié est alors appelé image directe.
Caractéristiques et avantages
La FTBO présente plusieurs caractéristiques et avantages importants dans l’analyse des systèmes :
- Linéarité : La fonction de transfert en boucle ouverte est applicable aux systèmes linéaires, ce qui facilite grandement leur analyse mathématique.
- Indépendance vis-à-vis du temps : Puisque la FTBO est définie dans le domaine fréquentiel, elle ne dépend pas du temps. Ainsi, elle permet d’étudier les réponses du système face à différentes fréquences plutôt que face à des variations temporelles.
- Simplicité : L’utilisation de la FTBO permet une représentation simplifiée des systèmes complexes, facilitant ainsi leur étude et leur compréhension.
- Composabilité : Grâce au principe de superposition, il est possible de décomposer un système complexe en sous-systèmes plus simples et d’évaluer leurs FTBO individuelles avant de les combiner pour obtenir la FTBO globale du système complet.
Mesure de la stabilité et du comportement d’un système
L’une des applications principales de la fonction de transfert en boucle ouverte est l’évaluation de la stabilité d’un système. Pour cela, il est nécessaire d’étudier la condition de Nyquist, qui se base sur la réponse fréquentielle et donne une méthode graphique pour évaluer la stabilité.
La condition de Nyquist
Le critère de stabilité de Nyquist utilise le tracé du diagramme de Bode ou le diagramme de Nyquist de la FTBO d’un système pour déterminer sa stabilité. Le diagramme de Bode représente les gains et les phases du système en fonction des fréquences, tandis que le diagramme de Nyquist affiche un tracé complexe qui relie le gain réel à la phase du système.
Marges de stabilité
Les marges de stabilité sont deux indicateurs essentiels qui permettent d’évaluer la robustesse et le comportement d’un système face aux perturbations :
- Marge de gain : Il s’agit de la différence entre le gain actuel du système et le gain critique nécessaire pour provoquer une instabilité. Plus cette marge est grande, plus le système est robuste face aux variations de gain.
- Marge de phase : C’est l’écart entre la phase actuelle du système et la phase critique qui entraîne l’instabilité. Une marge de phase importante indique que le système peut faire face aux variations de phase sans perdre sa stabilité.
L’analyse de ces marges de stabilité en utilisant la FTBO permet de concevoir des systèmes robustes et fiables, capables de résister aux différentes perturbations rencontrées en pratique.
Ajustements de performance et optimisation
En plus de fournir des informations sur la stabilité d’un système, la fonction de transfert en boucle ouverte permet également d’ajuster et d’optimiser ses performances pour répondre aux exigences spécifiques d’une application donnée. Différentes techniques peuvent être utilisées à cet effet, telles que le réglage des paramètres du système, la mise en place de correcteurs ou l’utilisation d’algorithmes numériques avancés.
Correcteurs
Les correcteurs sont les éléments qui modifient la FTBO d’un système afin d’améliorer certaines caractéristiques spécifiques telles que la rapidité, la précision ou la robustesse face aux perturbations. Parmi les correcteurs les plus connus et utilisés, on peut citer :
- Le correcteur proportionnel (P) : Il multiplie l’erreur en temps réel par un gain constant, ce qui améliore la réponse du système mais ne supprime pas nécessairement l’erreur statique.
- Le correcteur intégral (I) : Il accumule l’erreur au fil du temps et la multiplie par un gain constant, permettant ainsi de supprimer l’erreur statique mais pouvant rendre le système moins stable.
- Le correcteur dérivatif (D) : Il mesure la variation de l’erreur dans le temps et la multiplie par un gain constant, apportant ainsi une action prédictive qui améliore la stabilité et la rapidité.
L’association de ces différents types de correcteurs permet d’obtenir des systèmes performants et adaptés aux besoins spécifiques de chaque application.
Ajustement numérique
En plus des correcteurs classiques, il est possible d’utiliser des algorithmes numériques pour ajuster et optimiser la fonction de transfert en boucle ouverte selon les caractéristiques souhaitées. Par exemple, l’utilisation de techniques d’optimisation avancées telles que l’algorithme génétique ou le calcul parallèle permet d’explorer un large domaine de paramètres et de trouver rapidement la solution optimale pour améliorer la réponse du système.
