La forme canonique d’une fonction de transfert est un concept essentiel pour l’analyse et la conception des systèmes dynamiques. Dans cet article, nous allons décrire les bases de la forme canonique, la fonction de transfert, ainsi que les principaux aspects à considérer lorsqu’il s’agit d’étudier ces sujets en profondeur.
Définition et généralités sur la fonction de transfert
La fonction de transfert est une représentation mathématique du comportement d’un système dynamique en fréquence. Elle relie la sortie (réponse) du système à son entrée (excitation). La fonction de transfert est généralement représentée par la notation H(s), où s est le complexe de Laplace qui permet de transformer les équations différentielles en équations algébriques.
Ordre du système et degré du dénominateur
L’ordre d’un système est déterminé par le degré du polynôme du dénominateur de sa fonction de transfert. Plus précisément, il correspond au nombre maximal de pôles que peut avoir le système, c’est-à-dire aux valeurs de s pour lesquelles la fonction de transfert devient infinie. Un ordre élevé indique généralement un système plus complexe, tandis qu’un ordre faible implique un comportement plus simple.
Classe du système et influence sur la réponse en boucle fermée
La classe du système est un autre facteur important à considérer lors de l’analyse des fonctions de transfert. Elle dépend du nombre de zéros d’intégration, c’est-à-dire du nombre de zéros de la fonction de transfert situés à l’origine (s=0). La classe influe sur la réponse en boucle fermée du système et donc sur sa stabilité.
Étude des différents types de formes canoniques
Une fois que la fonction de transfert est établie, on peut passer à l’étude de la forme canonique. Il existe plusieurs types de formes canoniques :
- Forme canonique parallèle : Cette forme consiste à décomposer la fonction de transfert en une somme de fractions simples. Chaque fraction représente le comportement d’un sous-système que vous pouvez analyser indépendamment. L’ensemble des sous-systèmes combinés permet de retrouver le comportement global du système étudié.
- Forme canonique série : La forme série implique le produit de différentes fonctions de transfert qui représentent chacune un sous-système. Le système complet est alors décrit par le passage successif de chaque sous-système.
- Forme canonique mixte : Il s’agit d’une combinaison des formes parallèles et en série permettant de modéliser des systèmes complexes.
Le choix de la forme canonique fait partie intégrante de l’analyse du système, car il permet de simplifier l’étude et de faciliter la représentation graphique.
Conversion d’une fonction de transfert en forme canonique
Pour passer d’une fonction de transfert à sa forme canonique, il est nécessaire de suivre plusieurs étapes :
- Simplification : Éliminer les termes communs du numérateur et du dénominateur pour simplifier la fraction. Cette opération permet de réduire le nombre de pôles et de zéros et de vérifier si le système est stable ou non.
- Décomposition : Décomposer la fraction simplifiée en fractions simples selon le type de forme canonique choisi (parallèle, série ou mixte). Le but est de trouver une expression plus facile à manipuler et à analyser.
Il convient de noter que la conversion d’une fonction de transfert en forme canonique ne modifie pas les propriétés fondamentales du système, telles que la stabilité, l’ordre ou la classe, mais facilite grandement l’étude de ce dernier.
Fonction de transfert et contrôle optimal de systèmes
La compréhension de la fonction de transfert et de la forme canonique joue un rôle essentiel dans le domaine du contrôle optimal des systèmes dynamiques. En effet, en maîtrisant ces concepts, il devient possible de concevoir des régulateurs proportionnels-intégraux-dérivateurs (PID) qui compensent les erreurs entre la réponse désirée et celle du système étudié en modifiant adéquatement la commande appliquée.
PID idéal et PID série
Le contrôleur PID idéal a une fonction de transfert qui peut être exprimée en forme canonique. Toutefois, il est souvent utile d’adopter un PID série pour des raisons de simplicité de mise en œuvre et d’analyse.
« Pour un PID série, la fonction de transfert du contrôleur se transforme en une expression polynomiale en s plus simple que celle du PID idéal.»
En somme, la maîtrise de la notion de forme canonique et de la fonction de transfert est fondamentale pour l’analyse, la conception et le contrôle optimal des systèmes dynamiques. La décomposition et la représentation appropriées de ces fonctions permettent d’accéder à une compréhension approfondie du système étudié et d’améliorer ainsi son comportement et sa stabilité.
Franck Dabailly est un rédacteur actif sur le site Pairform.fr, où il contribue régulièrement à des articles liés à la digitalisation des entreprises, aux technologies industrielles, et au marketing numérique. Il écrit notamment sur des sujets variés comme la transformation digitale, les logiciels de gestion. Ses articles sont axés sur l’optimisation des processus commerciaux et la digitalisation dans les secteurs de l’industrie et des services.
